seychellesartprojects.org

Centrinės ribos teoremos apibrėžimas

Centrinės ribos teoremoje teigiama, kad atsitiktinės populiacijos atsitiktinio kintamojo su bet kokiu pasiskirstymu imtys artės prie normalaus tikimybės pasiskirstymo, kai imties dydis didės, ir daroma prielaida, kad, kai imties dydis populiacijoje viršija 30, vidutinis visų imties stebėjimų vidurkis b bus beveik lygus populiacijos vidurkiui.

Centrinės ribos teoremos formulė

Mes jau aptarėme, kad kai imties dydis viršija 30, pasiskirstymas įgauna įprasto pasiskirstymo formą. Norint nustatyti kintamojo normalųjį pasiskirstymą, svarbu žinoti jo vidurkį ir dispersiją. Normalų pasiskirstymą galima teigti kaip

X ~ N (µ, α)

Kur

• N = stebėjimų skaičius
• µ = stebėjimų vidurkis
• α = standartinis nuokrypis

Daugeliu atvejų stebėjimai nedaug ką atskleidžia. Taigi labai svarbu standartizuoti stebėjimus, kad galėtume tai palyginti. Tai atliekama naudojant „z“ balą. Reikia apskaičiuoti stebėjimo Z balą. Z balo apskaičiavimo formulė yra

Z = (X-µ) / α / √n

Kur

• Z = stebėjimų Z balas
• µ = stebėjimų vidurkis
• α = standartinis nuokrypis
• n = imties dydis

Paaiškinimas

Centrinės ribos teoremoje teigiama, kad atsitiktinės populiacijos atsitiktinio kintamojo su bet kokiu pasiskirstymu imtys artės prie normalaus tikimybių pasiskirstymo, kai imties dydis didės. Centrinės ribos teoremoje daroma prielaida, kad, kai imties dydis populiacijoje viršija 30, imties vidurkis, kurio visų imties stebėjimų vidurkis bus artimas populiacijos vidurkiui. Taip pat standartinis imties nuokrypis, kai imties dydis viršija 30, bus lygus standartiniam populiacijos nuokrypiui. Kadangi imtis yra atsitiktinai parinkta iš visos populiacijos ir imties dydis yra didesnis nei 30, tai padeda hipotezėms tikrinti ir konstruoti hipotezės patikimumo intervalą.

Centrinės ribos teoremos formulės pavyzdžiai (su „Excel“ šablonu)

Šią „Central Limit Theorem Formula Excel“ šabloną galite atsisiųsti iš čia - „Central Limit Theorem Formula Excel“ šablonas

1 pavyzdys

Supraskime įprasto pasiskirstymo sampratą pavyzdžio pagalba. Vidutinė investicinio fondo grąža yra 12%, o standartinis nuokrypis nuo vidutinės investicinio fondo grąžos yra 18%. Jei manysime, kad grąžos paskirstymas paprastai paskirstomas, aiškinkime investicinio fondo investicijų grąžos paskirstymą.

Atsižvelgiant į tai,

• Vidutinė investicijos grąža bus 12%
• Standartinis nuokrypis bus 18%

Taigi, norėdami sužinoti 95% pasikliovimo intervalo grąžą, galime tai sužinoti išsprendę lygtį as

• Viršutinis diapazonas = 12 + 1,96 (18) = 47%
• Apatinis diapazonas = 12 - 1,96 (18) = -23% 

Rezultatas reiškia, kad 95% kartų investicinio fondo grąža bus 47–23%. Šiame pavyzdyje imties dydis, kuris yra atsitiktinės imties iš daugiau nei 30 grąžos stebėjimų grąža, suteiks mums investicinio fondo populiacijos grąžos rezultatą, nes imties paskirstymas bus paprastai paskirstytas.

2 pavyzdys

Tęsdami tą patį pavyzdį, nustatykime, koks bus 90% pasitikėjimo intervalo rezultatas

Atsižvelgiant į tai,

• Vidutinė investicijos grąža bus 12%
• Standartinis nuokrypis bus 18%

Taigi, norėdami sužinoti 90% pasikliautino intervalo grąžą, galime tai sužinoti išsprendę lygtį as

• Viršutinis diapazonas = 12 + 1,65 (18) = 42%
• Apatinis diapazonas = 12 - 1,65 (18) = -18%

Rezultatas reiškia, kad 90% kartų investicinio fondo grąža bus 42–18%.

3 pavyzdys

Tęsdami tą patį pavyzdį, nustatykime, koks bus 99% pasikliautino intervalo rezultatas

Atsižvelgiant į tai,

• Vidutinė investicijos grąža bus 12%
• Standartinis nuokrypis bus 18%

Taigi, norėdami sužinoti 90% pasikliautino intervalo grąžą, galime tai sužinoti išsprendę lygtį as

• Viršutinis diapazonas = 12 + 2,58 (18) = 58%
• Apatinis diapazonas = 12 - 2,58 (18) = -34% 

Rezultatas reiškia, kad 99% kartų investicinio fondo grąža bus 58–34%.

Aktualumas ir naudojimas

Centrinės ribos teorema yra nepaprastai naudinga, nes ji leidžia tyrėjui imties pagalba numatyti visos populiacijos vidurkį ir standartinį nuokrypį. Kadangi imtis yra atsitiktinai pasirinkta iš visos populiacijos ir imties dydis yra didesnis nei 30, bet koks atsitiktinės imties dydis, paimtas iš populiacijos, artės prie normalaus pasiskirstymo, kuris padės tikrinant hipotezę ir sukonstruojant hipotezės patikimumo intervalą testavimas. Remiantis centrinės ribos teorema,tyrėjas gali pasirinkti bet kurią atsitiktinę imtį iš visos populiacijos ir, kai imties dydis yra didesnis nei 30, jis gali nuspėti populiaciją imties pagalba, nes imties rezultatas bus normalus, taip pat kaip vidurkis ir standartinis imties nuokrypis bus toks pat kaip populiacijos vidurkis ir standartinis nuokrypis.